포물선과 준선

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 $p$의 값을 구할 수 있는가? 두 점 $\mathrm{A} , C$의 $x$좌표를 각각 $x _{1} , x _{2}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{x} _{1} + p$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{BF}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \mathit{x} _{1} + p$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 점 $\mathrm{C}$에서 포물선의 점근선에 내린 수선의 발을 $C'$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{CC}'}}$$= x _{2} + p$ $\cdots \cdots$ ㉡

이때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} + 3 {\overline{\mathrm{CF}}}$$= 6$이므로 ㉠과 ㉡에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} + 3 {\overline{\mathrm{CF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BF}}} + 2 {\overline{\mathrm{CF}}}$ $= \left( x _{1} + p \right) + 2 \left( x _{2} + p \right)$ $= x _{1} + 2 x _{2} + 3 p$ $= 6$ $\cdots \cdots$ ㉢ 한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{BF}}$이고 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = {\overline{AB}}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABF}$는 정삼각형이다. 그러므로 $\angle \mathrm{OFB} = 60 ^\circ$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} \mathit{\cos} 60 ^\circ = 2 p$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} \mathit{\cos} 60 ^\circ = p - x _{2}$이므로 $\displaystyle \left( x _{1} + p \right) \times \frac{1}{2} = 2 p$, $\displaystyle \left( x _{2} + p \right) \times \frac{1}{2} = p - x _{2}$ 즉, $x _{1} = 3 p$, $\displaystyle x _{2} = \frac{1}{3} p$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉣을 ㉢에 대입하면 $\displaystyle 3 p + \frac{2}{3} p + 3 p = 6$, $\displaystyle \frac{20}{3} p = 6$ 따라서 $\displaystyle p = \frac{9}{10}$