공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선과 직선이 만날 조건

문제

이차함수 $y = - x ^{2} + 4 x$ 의 그래프와 직선 $y = 2 x + k$ 가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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②

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[출제의도] 이차방정식의 성질을 이용하여 이차함수 문제 해결하기 이차함수 $y = - x ^{2} + 4 x$ 의 그래프와 직선 $y = 2 x + k$ 가 적어도 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 $- x ^{2} + 4 x = 2 x + k$ 가 실근을 가져야 한다. $x ^{2} - 2 x + k = 0$ 의 판별식을 $D$ 라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - k \geq 0$ 이므로 $k \leq 1$ 이다. 따라서 $k$ 의 최댓값은 $1$ 이다.

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