포물선과 직선이 만든 삼각형

[출제의도] 이차함수를 활용하여 문제해결하기

$y = x ^{2} - 8 x + 12$

$y = x ^{2} - 8 x + 12 = \left( x - 4 \right) ^{2} - 4$이므로 이차함수 $y = x ^{2} - 8 x + 12$의 그래프는 직선 $x = 4$에 대하여 대칭이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 $\left( 4 - a , k \right)$, $\left( 4 + a , k \right)$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \mathit{a}$ 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{4} - a , k \right)$가 이차함수 $y = \left( x - 4 \right) ^{2} - 4$ 위의 점이므로 $k = a ^{2} - 4$ $\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $15$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 a \times k = ak = 15$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a \left( a ^{2} - 4 \right) = 15$, $a ^{3} - 4 a - 15 = 0$ 조립제법을 이용하여 $a ^{3} - 4 a - 15$를 인수분해하면

$\left( a - 3 \right) \left( a ^{2} + 3 a + 5 \right) = 0$ $a ^{2} + 3 a + 5 > 0$이므로 $a = 3$ 따라서 $k = 5$