공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선과 직선이 접할 조건

문제

[13 ~ 14] 이차함수 ${{f ( x ) = x ^{2} - 2 ax + 5 a}}$ 의 그래프의 꼭짓점을 ${\mathrm{A}}$ 라 하고, 점 ${\mathrm{A}}$ 에서 ${x}$ 축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{B}}$ 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $a$ 는 $a \ne 0$ , $a \ne 5$ 인 실수이다.)

$y = f ( x )$

이차함수 $y = f ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 가 오직 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 합은? [3점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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④

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해설

[출제의도] 이차함수와 직선과의 위치관계 이해하기

$y = f ( x )$

이차함수 $y = x ^{2} - 2 ax + 5 a$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 의 그래프가 오직 한 점에서 만나므로 $x ^{2} - 2 ax + 5 a = x$ 가 중근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 $x ^{2} - ( 2 a + 1 ) x + 5 a = 0$ 의 판별식을 $D$ 라 하면 $D = ( 2 a + 1 ) ^{2} - 20 a$ $= 4 a ^{2} - 16 a + 1 = 0$ 이다. 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $4$ 이다.

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