공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선과 직선 넓이 비

문제

양수 ${a}$ 에 대하여 두 함수 $f ( x ) = x ^{2}$ 과 $g ( x ) = ax + 2 a ^{2}$ 의 그래프가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 직선 $y = g ( x )$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ , $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ , 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{COD}$ 의 넓이를 $S _{1}$ , 사각형 $\mathrm{OEAD}$ 의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $S _{2} = kS _{1}$ 을 만족시키는 실수 $k$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 는 각각 제 $1$ 사분면과 제 $2$ 사분면 위에 있다.) [4점] ① $\displaystyle \frac{11}{4}$ ② $\displaystyle \frac{23}{8}$ ③ $3$ ④ $\displaystyle \frac{25}{8}$ ⑤ $\displaystyle \frac{13}{4}$

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

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③

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[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $g ( x ) = 0$ 에서 $ax + 2 a ^{2} = a ( x + 2 a ) = 0$ $a > 0$ 이므로 $x = - 2 a$ 따라서 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 $( - 2 a , 0 )$ $f ( x ) = g ( x )$ 에서 $x ^{2} = ax + 2 a ^{2}$ $( x - 2 a ) ( x + a ) = 0$ $x = - a$ 또는 $x = 2 a$ 점 $\mathrm{A}$ 는 제 $1$ 사분면 위에 있으므로 점 $\mathrm{E}$ 의 좌표는 $( 2 a , 0 )$ 삼각형 $\mathrm{COD}$ 와 삼각형 $\mathrm{CEA}$ 의 닮음비는 $1 : 2$ 이므로 넓이의 비는 $1 : 4$ 즉 $S _{1} : S _{2} = 1 : 3$ 이므로 $S _{2} = 3 S _{1}$ 따라서 $k = 3$

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

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