포물선과 직선 거리

$3 < a < 7$일 때, 이차함수 $y = x ^{2} - 2 ax - 20$의 그래프와 직선 $y = 2 x - 12 a$가 만나지 않으므로 기울기가 $2$인 직선이 이차함수 $y = x ^{2} - 2 ax - 20$에 접할 때의 접점이 점 $\mathrm{P}$일 때, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = 2 x - 12 a$ 사이의 거리가 최소가 된다. $y = x ^{2} - 2 ax - 20$에 접하고 기울기가 $2$인 직선을 $y = 2 x + b$라 하면 $x ^{2} - 2 ax - 20$$= 2 x + b$ $x ^{2} - 2 \left( a + 1 \right) x - 20 - b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 4 \left( a + 1 \right) ^{2} + 4 \left( 20 + b \right) = 0$ $b = \mathit{-} \left( a + 1 \right) ^{2} - 20 = \mathit{-} a ^{2} - 2 a - 21$이므로 접선의 방정식은 $y = 2 x - a ^{2} - 2 a - 21$ $f ( a )$는 두 직선 $y = 2 x - 12 a$와 $y = 2 x - a ^{2} - 2 a - 21$ 사이의 거리와 같으므로 직선 $y = 2 x - 12 a$ 위의 점 $\left( 6 a , 0 \right)$과 직선 $y = 2 x - a ^{2} - 2 a - 21$ 사이의 거리를 구하면 $f \left( a \right)$$\displaystyle = \frac{\left| 12 a - a ^{2} - 2 a - 21 \right|}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{\left| - a ^{2} + 10 a - 21 \right|}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{\left| - \left( a - 5 \right) ^{2} + 4 \right|}{\sqrt{5}}$ $\left( 3 < a < 7 \right)$ 따라서 $f \left( a \right)$의 최댓값은 $\displaystyle f \left( 5 \right) = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$