포물선과 직선 거리

[출제의도] 포물선의 접선의 방정식을 이용하여 추론하기 포물선 $y ^{2} = 4 x$에 접하고 기울기가 $\mathrm{1}$인 직선을 $l$, 기울기가 $\mathrm{1}$인 직선 중 직선 $y = x - 2$와의 거리가 두 직선 $y = x - 2$, $l$ 사이의 거리와 같으면서 포물선과 서로 다른 두 점에서 만나는 직선을 $m$이라 하자. 직선 $y = x - 2$로부터의 거리가 같은 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점이 $\mathrm{3}$개뿐이므로 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$ 중 하나는 직선 $l$이 포물선에 접하는 점이고, 나머지 두 점은 직선 $m$과 포물선의 교점이어야 한다. 이제 직선 $l$이 포물선에 접하는 점을 ${\mathrm{P}}$, 직선 $m$과 포물선이 만나는 두 점을 ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$이라 하자.

직선 $l$의 방정식은 $y = x + 1$ 두 직선 $y = x - 2$, $m$의 $y$절편의 차는 두 직선 $y = x + 1$, $y = x - 2$의 $y$절편의 차인 $\mathrm{3}$이어야 하므로 직선 $m$의 방정식은 $y = x - 5$ 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$의 $x$좌표를 각각 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$이라 하면 $( x + 1 ) ^{2} = 4 x$에서 $x _{1} = 1$ $( x - 5 ) ^{2} = 4 x$에서 $x ^{2} - 14 x + 25 = 0$이고 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $x _{2} + x _{3} = 14$ 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$에서 직선 $x = - 1$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} \mathit{_{1}}$, $\mathrm{H} \mathit{_{2}}$, $\mathrm{H} \mathit{_{3}}$이라고 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{\mathrm{RF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PH} \mathit{_{1}}}} + {\overline{\mathrm{QH} \mathit{_{2}}}} + {\overline{\mathrm{RH} \mathit{_{3}}}}$ $= \left( x _{1} + 1 \right) + \left( x _{2} + 1 \right) + \left( x _{3} + 1 \right)$ $= x _{1} + \left( x _{2} + x _{3} \right) + 3$ 따라서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PF}}} + \overline{{\mathrm{QF}}} + \overline{{\mathrm{RF}}} = 1 + 14 + 3 = 18$