포물선과 직선 보기

$- x ^{2} + 9 = x + k \rightarrow x ^{2} + x + k - 9 = 0$ 의 두 근 $\alpha , \beta$는 $P , Q$의 $x$좌표 ㄱ) $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = - \frac{1}{2}$ (참) ㄴ) $k = 7$이면 $P ( 1 , 8 ) , Q ( - 2 , 5 )$ $QR$을 밑변으로 보면 높이가 2배이므로 넓이도 2배이다. (참) ㄷ) $OR = k , \alpha + \beta = - 1 , \alpha \beta = k - 9$ $\triangle OPQ = \triangle OPR + \triangle OPQ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left| \alpha \right| k + \frac{1}{2} \left| \beta \right| k = \frac{1}{2} \left| \alpha - \beta \right| k ( \because \alpha \beta < 0 )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} k \sqrt{1 - 4 ( k - 9 )}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 k ^{3} + 37 k ^{2}}$ 여기서 $f ( k ) = - 4 k ^{3} + 37 k ^{2}$이라 두면 $f' ( k ) = - 12 k ^{2} + 74 k = 0$ $\displaystyle k = \frac{37}{6}$일 때, $f ( k )$는 최댓값을 가진다. $\therefore$$\displaystyle k = \frac{37}{6}$일 때, $\triangle OPQ$의 넓이는 최대이다. (거짓)