포물선과 직선

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기

$\displaystyle y = \frac{1}{2} ( x - k ) ^{2}$

점 $\mathrm{C}$의 좌표를 $\left( \alpha , 0 \right)$이라 하면 선분 $\mathrm{CD}$의 길이는 $6$이므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\mathit{\left( \alpha + 6 , 0 \right)}$ 직선 $y = x$ 위의 두 점 $\mathrm{A} {\mathit{\left( \alpha , \alpha \right)}}$, $\mathrm{B} {\mathit{\left( \alpha + 6 , \alpha + 6 \right)}}$은 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( x - k \right) ^{2}$의 그래프와 직선 $y = x$의 교점이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( x - k \right) ^{2} = x$ 이차방정식 $x ^{2} - 2 \left( k + 1 \right) x + k ^{2} = 0$의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \left( \alpha + 6 \right) = 2 \left( k + 1 \right)$, $\alpha = k - 2$ $\cdots \text{㉠}$ $\alpha \left( \alpha + 6 \right) = k ^{2}$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $\left( k - 2 \right) \left( k + 4 \right) = k ^{2}$, $2 k - 8 = 0$, $k = 4$