포물선과 정삼각형

그림과 같이 꼭짓점이 원점 $\mathrm{O}$이고 초점이 $\mathrm{F} \mathit{\left( p , 0 \right)}$$\left( p > 0 \right)$인 포물선이 있다. 포물선 위의 점 $\mathrm{P}$, $x$축 위의 점 $\mathrm{Q}$, 직선 $x = p$ 위의 점 $\mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PQR}$는 정삼각형이고 직선 $\mathrm{PR}$는 $x$축과 평행하다. 직선 $\mathrm{PQ}$가 점 $\displaystyle \mathrm{S} \mathit{\left( - p , \sqrt{21} \right)}$을 지날 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \frac{\mathit{a + b \sqrt{7}}}{6}$이다. $a + b$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 정수이고, 점 $\mathrm{P}$는 제$1$사분면 위의 점이다.) [4점]