포물선과 가로선 보기

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 추론하기 ㄱ. 방정식 $x ^{2} - 6 x + 6 = 6$의 해는 $x = \mathit{0}$ 또는 $x = 6$이므로 점 $\mathrm{C} \left( 0 , 6 \right)$, 점 $\mathrm{D} \left( 6 , 6 \right)$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$= 6$이다. (참) ㄴ. 방정식 $x ^{2} = k$의 해는 $\displaystyle x = \mathit{\pm} \sqrt{k}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{A} ( \mathit{-} \sqrt{k} , k )$, 점 $\displaystyle \mathrm{B} ( \mathit{\sqrt{k}} , k )$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = 4 \mathit{k}$ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 방정식 $x ^{2} - 6 x + 6 = k$에서 $\alpha + \beta = 6$, $\alpha \beta = 6 - k$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} = \left( \beta - \alpha \right) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta = 12 + 4 \mathit{k}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = 12$로 일정하다. (참) ㄷ. $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = \left( {\overline{CD}} + {\overline{AB}} \right) \left( {\overline{CD}} - {\overline{AB}} \right) = 12$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} + {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} - {\overline{AB}}$$= 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = \frac{7}{2}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{\mathit{k}} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle k = \frac{1}{16}$이다. 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{4}$이고, 방정식 $\displaystyle x ^{2} - 6 x + 6 = \frac{1}{16}$에서 $16 x ^{2} - 96 x + 95 = 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{5}{4}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{19}{4}$이다. 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표보다 작으므로 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{5}{4}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$= 1$ 따라서 $\displaystyle k + {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = \frac{17}{16}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.