포물선으로 둘러싸인 넓이

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 도형의 넓이를 구한다. 세 이차함수 $y = \mathit{-} x ^{2}$, $y = \mathit{-} \left( x + 2 \right) ^{2} + 4$, $y = \mathit{-} \left( x + 4 \right) ^{2}$은 $x ^{2}$의 계수가 모두 $- 1$이므로 세 이차함수 그래프의 폭과 모양은 서로 같다.

$( \mathrm{i} )$ $y = \mathit{-} \left( x + 2 \right) ^{2} + 4$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( - 2 , 4 \right)$ $y = \mathit{-} \left( x + 4 \right) ^{2}$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( - 4 , 0 \right)$ 그러므로 $y = \mathit{-} \left( x + 2 \right) ^{2} + 4$의 그래프는 $y = \mathit{-} \left( x + 4 \right) ^{2}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동한 것이다. 그러므로 두 도형 $A$와 $A'$은 서로 합동이다.

$( \mathrm{ii} )$ $y = \mathit{-} x ^{2}$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( 0 , 0 \right)$ $y = - \left( x + 2 \right) ^{2} + 4$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( - 2 , 4 \right)$ 그러므로 $y = - \left( x + 2 \right) ^{2} + 4$의 그래프는 $y = \mathit{-} x ^{2}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동한 것이다. 그러므로 두 도형 $B$와 $B'$은 서로 합동이다.

따라서 그림에서 구하는 넓이는 한 변의 길이가 $4$인 정사각형의 넓이와 같으므로 $4 \times 4 = 16$ [참고] 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프는 ① $y$축을 축으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이다. ② $a > 0$이면 아래로 볼록하고, $a < 0$이면 위로 볼록하다. ③ $a$의 절댓값이 클수록 그래프의 폭은 좁아진다. ④ $y = \mathit{-} ax ^{2}$의 그래프와 $x$축에 대칭이다.