미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

포물선 원 회전체

문제

그림과 같이 좌표평면에서 세 점 (4,0),( 4 , 0 ) , (−4,0),( - 4 , 0 ) , (0,2)( 0 , 2 )를 지나는 포물선이 있다. −4<x<4- 4 < x < 4인 범위에서 포물선 위를 움직이는 점을 P\mathrm{P}라 할 때, 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 xx축에 접하는 원을 그린 다음, 반직선 OP\mathrm{OP}와 이 원의 교점 중에서 원점 O\mathrm{O}로부터 더 멀리 있는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}가 그리는 도형과 xx축 및 직선 x=−4,x = - 4 , x=4x = 4로 둘러싸인 부분을 xx축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi이다. p+qp + q의 값을 구하여라. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

포물선의 방정식은 y=2−x28\displaystyle y = 2 - \frac{x ^{2}}{8}에서 x2=−8(y−2)x ^{2} = - 8 ( y - 2 )이므로 포물선의 초점은 O\mathrm{O}(0,0)( 0 , 0 )이고 준선은 y=4y = 4이다. 점 P\mathrm{P}(x,y)( x , y )에서 준선 y=4y = 4에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 포물선의 정의에 의하여 OP‾=PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \overline{PH}=4−y= 4 - y 점 P\mathrm{P}에서 xx축에 이르는 거리가 yy이므로 PQ‾=y\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{y} ∴ OQ‾=OP‾+OQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \overline{OP} + \overline{OQ}=(4−y)+y=4= ( 4 - y ) + y = 4 따라서 점 Q\mathrm{Q}는 원점을 중심으로 하고 반지름이 44인 반원 위에 존재한다.

따라서 구하는 부피는 반지름이 44인 구의 부피 43π×43=2563π\displaystyle \frac{4}{3} \pi \times 4 ^{3} = \frac{256}{3} \pi이다. ∴ p=3p = 3, q=256q = 256 ∴ p+q=259p + q = 259

태그

#회전체의 부피#자취

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