공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 위의 점이 이루는 이등변삼각형

문제

좌표평면에서 포물선 y=2−x2y = 2 - x ^{2}과 직선 y=xy = x가 만나는 두 점을 A,B\mathrm{A} , B라 하자. 점 P(a,b)\mathrm{P} ( a , b )가 이 포물선을 따라 A\mathrm{A}에서 B\mathrm{B}까지 움직인다. △APB\triangle \mathrm{A} PB가 이등변삼각형일 때, aa의 값은? ①1+132\displaystyle \frac{1 + \sqrt{13}}{2}②1−132\displaystyle \frac{1 - \sqrt{13}}{2}③2+142\displaystyle \frac{2 + \sqrt{14}}{2}④2−142\displaystyle \frac{2 - \sqrt{14}}{2}⑤3−142\displaystyle \frac{3 - \sqrt{14}}{2}

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②

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해설

y=xy = x와 y=2−x2y = 2 - x ^{2}의 두 교점을 A,BA , B라고 하면 2−x2=x2 - x ^{2} = x x2+x−2=0x ^{2} + x - 2 = 0 (x+2)(x−1)=0( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0 이므로 A(−2,−2),B(1,1)A ( - 2 , - 2 ) , B ( 1 , 1 ) 이다. 두 점 A,BA , B의 중점을 CC 라 하면 C(−12,−12)\displaystyle C ( - \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} )이 된다. 점 CC를 지나고, 선분 AB‾\displaystyle \overline{AB}에 수직한 직선을 y=mx+ny = mx + n라 하면 −12=−12m+n⋯\displaystyle - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} m + n \cdots(1) m⋅1=−1⋯m \cdot 1 = - 1 \cdots(2) 로부터 m=−1,n=−1m = - 1 , n = - 1이다. 따라서, △ABP\triangle ABP가 이등변 삼각형이 되도록 하는 점 PP의 위치는 직선 y=−x−1y = - x - 1과 y=2−x2y = 2 - x ^{2}의 교점이다.

2−x2=−x−12 - x ^{2} = - x - 1 x2−x−3=0x ^{2} - x - 3 = 0 ∴x=1±132\displaystyle \therefore x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} 점 PP는 점 AA와 점 BB사이의 곡선상에 존재하므로 xx좌표는 음수이다. 따라서, a=1−132\displaystyle a = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

태그

#이등변삼각형#수직이등분선#포물선과 직선의 교점

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