기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 위 원의 반지름

문제

그림과 같이 포물선 y2=4xy ^{2} = 4 x 위의 한 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 준선과 점 A\mathrm{A}에서 접하는 원이 xx축과 만나는 두 점을 각각 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 하자. 부채꼴 PBC\mathrm{PBC}의 넓이가 부채꼴 PAB\mathrm{PAB}의 넓이의 22배일 때, 원의 반지름의 길이는? (단, 점 P\mathrm{P}의 xx좌표는 11보다 크고, 점 C\mathrm{C}의 xx좌표는 점 B\mathrm{B}의 xx좌표보다 크다.) [3점]

y2=4xy ^{2} = 4 x

①2+23\displaystyle 2 + 2 \sqrt{3}②3+22\displaystyle 3 + 2 \sqrt{2}③3+23\displaystyle 3 + 2 \sqrt{3}④4+22\displaystyle 4 + 2 \sqrt{2}⑤4+23\displaystyle 4 + 2 \sqrt{3}

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④

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해설

점BB는 초점이므로 (1,0)\left( 1 , 0 \right), 점PP를 (a,b)( a , b )라 하고 점PP에서 xx축에 내린 수선의 발을 HH라 하면 점HH는 (a,0)( a , 0 ) ∠APB=∠BPH=π4\displaystyle \angle APB = \angle BPH = \frac{\pi}{4} BH‾=PH‾=a−1=b\displaystyle \overline{BH} = \overline{PH} = a - 1 = b ⋯①\cdots \text{①} (a,b)( a , b )는 포물선 위의 점이므로 대입하면 b2=4ab ^{2} = 4 a $\cdots \text{ ②}$ ①, ②를 연립하면 (a,b)=(3+22,2+22)\displaystyle ( a , b ) = ( 3 + 2 \sqrt{2} , 2 + 2 \sqrt{2} ) 원의 반지름=BP‾=2PH‾=2(2+22)=4+22\displaystyle = \overline{BP} = \sqrt{2} \overline{PH} = \sqrt{2} ( 2 + 2 \sqrt{2} ) = 4 + 2 \sqrt{2}

태그

#포물선#준선#부채꼴

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