포물선 위 중심인 원

중심이 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 $\mathrm{1}$인 원의 중심의 좌표를 $\left( t , f \left( t \right) \right)$라 하자. $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동한 원이 $x$축과 $y$축에 동시에 접하기 위해서는 평행이동한 원의 중심의 좌표가 $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( - 1 , - 1 \right)$, $\left( - 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , - 1 \right)$ 중 하나가 되어야 한다. (ⅰ) 평행이동한 원의 중심의 좌표가 $\left( 1 , 1 \right)$인 경우 $\displaystyle {\begin{cases} t + m = 1 \\ f \left( t \right) + m = 1 \end{cases}}$이므로 $f \left( t \right) = t$ 따라서 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$는 직선 $y = x$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점이다. (ⅱ) 평행이동한 원의 중심의 좌표가 $\left( - 1 , - 1 \right)$인 경우 $\displaystyle {\begin{cases} t + m = - 1 \\ f \left( t \right) + m = - 1 \end{cases}}$이므로 $f \left( t \right) = t$ 따라서 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$는 직선 $y = x$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점이다. (ⅲ) 평행이동한 원의 중심의 좌표가 $\left( - 1 , 1 \right)$인 경우 $\displaystyle {\begin{cases} t + m = - 1 \\ f \left( t \right) + m = 1 \end{cases}}$이므로 $f \left( t \right) = t + 2$ 따라서 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$는 직선 $y = x + 2$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점이다. (ⅳ) 평행이동한 원의 중심의 좌표가 $\left( 1 , - 1 \right)$인 경우 $\displaystyle {\begin{cases} t + m = 1 \\ f \left( t \right) + m = - 1 \end{cases}}$이므로 $f \left( t \right) = t - 2$ 따라서 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$는 직선 $y = x - 2$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점이다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 세 직선 $y = x + 2$, $y = x$, $y = x - 2$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\mathrm{5}$이다. $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx + c \left( a \ne 0 , a , b , c \right.$는 실수$)$라 하자. (ㄱ) $a < 0$인 경우

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 세 직선 $y = x + 2$, $y = x$, $y = x - 2$가 만나는 점의 개수가 $\mathrm{5}$이고 $x _{1} = 0$을 만족시키는 경우 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x - 2$가 점 $\left( 0 , - 2 \right)$에서 만나고 $x _{5}$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x - 2$가 만나는 점의 $x$좌표이므로 $x _{1} \leq x \leq x _{5}$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $\mathrm{-} 2$가 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ㄴ) $a > 0$인 경우

$x _{1}$, $x _{5}$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x + 2$가 만나는 점의 $x$좌표이므로 방정식 $ax ^{2} + bx + c = x + 2$의 근이다. $x _{1} = 0$이므로 $c = 2$이고 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle x _{1} + x _{5} = - \frac{b - 1}{a}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $x _{2}$, $x _{4}$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x$가 만나는 점의 $x$좌표이므로 방정식 $ax ^{2} + bx + 2 = x$의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle x _{2} + x _{4} = - \frac{b - 1}{a}$ $\cdots \cdots$ ㉡ $x _{3}$은 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x - 2$가 접하는 점의 $x$좌표이므로 방정식 $ax ^{2} + bx + 2 = x - 2$의 중근이다. $\displaystyle x _{3} = - \frac{b - 1}{2 a}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 방정식 $ax ^{2} + \left( b - 1 \right) x + 4 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( b - 1 \right) ^{2} - 4 \times 4 a = 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉠, ㉡, ㉢ 과 $x _{1} = 0$, $x _{2} + x _{3} + x _{4} + x _{5} = 20$이므로 $b - 1 = - 8 a$ $\cdots \cdots$ ㉤ ㉣ , ㉤에서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$, $b = - 1$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} x ^{2} - x + 2 = \frac{1}{4} \left( x - 2 \right) ^{2} + 1$ 따라서 $f \left( 20 \right) = 82$