공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선 위 점과 최댓값

문제

그림과 같이 이차함수 $y = x ^{2} - 5 x + 4$ 의 그래프가 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 에서 좌표축과 만난다. 점 ${\mathrm{P}} ( a , b )$ 가 곡선 위를 따라 점 $\mathrm{A}$ 에서 점 $\mathrm{C}$ 까지 움직일 때, $5 a + b + 1$ 의 최댓값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 제한변역이 있는 경우 이차함수의 최대값을 구할 수 있다. $x ^{2} - 5 x + 4 = 0$ 에서 $( x - 1 ) ( x - 4 ) = 0$ 이므로 $x = 1 , 4$ ∴ $\mathrm{A} ( 0 , 4 ) , B ( 1 , 0 ) , C ( 4 , 0 )$ 점 ${\mathrm{P}} ( a , b )$ 는 곡선 위의 점이므로 $b = a ^{2} - 5 a + 4$ 를 대입하면 $5 a + b + 1 = 5 a + a ^{2} - 5 a + 4 + 1$ $= a ^{2} + 5$ $0 \leq a \leq 4$ 이므로 구하는 최대값은 $a = 4$ 일 때 $21$ 이다.

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