공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 위 점 식의 최대최소

문제

그림과 같이 이차함수 $y = x ^{2} - 3 x + 2$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ , $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , b )$ 가 점 $\mathrm{A}$ 에서 이차함수 $y = x ^{2} - 3 x + 2$ 의 그래프를 따라 점 $\mathrm{B}$ 를 거쳐 점 $\mathrm{C}$ 까지 움직일 때, $a + b + 3$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

$y = x ^{2} - 3 x + 2$

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[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 문제해결하기 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , b )$ 는 이차함수 $y = x ^{2} - 3 x + 2$ 의 그래프 위의 점이므로 $b = a ^{2} - 3 a + 2$ 이다. $\mathrm{A} ( 0 , 2 )$ , $\mathrm{B} ( 1 , 0 )$ , $\mathrm{C} ( 2 , 0 )$ 이므로 $0 \leq a \leq 2$ 이다. $a + b + 3 = a + ( a ^{2} - 3 a + 2 ) + 3$ $= a ^{2} - 2 a + 5$ $= ( a - 1 ) ^{2} + 4$ ( $0 \leq a \leq 2$ ) $\therefore$ $a = 0$ 또는 $a = 2$ 일 때, 최댓값은 $5$ $a = 1$ 일 때, 최솟값은 $4$ 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $9$

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