포물선 위 점 삼각형

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축과 평행한 직선을 그어서 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하면 ${\mathrm{C}} ( 0 , b )$이고, 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$는 곡선 $y = x ^{2}$ 위의 점이므로 $b = a ^{2}$이다.

삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이를 $S$라 하면 $S = \square \mathrm{OAPC} - ( \triangle OAB + \triangle BPC )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( 1 + a ) b - \left\{ \frac{1}{2} \times 1 \times 1 + \frac{1}{2} ( b - 1 ) a \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} a ^{2} + \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$ 한편 $\displaystyle S = \frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} + \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 정리하면 $a ^{2} + a - 6 = 0$ $( a + 3 ) ( a - 2 ) = 0$ 그런데 $a > 0$이므로 $a = 2$ $b = a ^{2} = 2 ^{2} = 4$ ∴ $a + b = 2 + 4 = 6$