포물선 위 각의 극한

점 $\mathrm{O}$에서의 접선의 기울기는 $y' _{x = 0} = 1$이므로 접선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $45 ^\circ$이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$가 $\mathrm{A}$에서 $\mathrm{O}$로 가까이 갈 때 $\mathrm{\angle} APO$의 극한값은 $135 ^\circ$이다. [별해] 점 $P$의 좌표를 $P ( a , a ^{2} + a ) , \angle APO = \theta$라 하면 $\displaystyle \overline{AP} = \sqrt{( a + 1 ) ^{2} + ( a ^{2} + a ) ^{2}} = ( a + 1 ) \sqrt{1 + a ^{2}}$ $\displaystyle \overline{OP} = \sqrt{a ^{2} + ( a ^{2} + a ) ^{2}} = - a \sqrt{2 + 2 a + a ^{2}}$ (단, $- 1 < a < 0$) $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{( a + 1 ) ^{2} ( 1 + a ^{2} ) + a ^{2} ( 2 + 2 a + a ^{2} ) - 1}{2 ( a + 1 ) \sqrt{1 + a ^{2}} ( - a ) \sqrt{2 + 2 a + a ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{2 a ( a ^{3} + 2 a ^{2} + 3 a + 1 )}{- 2 a ( a + 1 ) \sqrt{1 + a ^{2}} \sqrt{2 + 2 a + a ^{2}}}$ 이고 $P \rightarrow 0$일 때 $a \rightarrow 0$ $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 0} {} \cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{2}}$에서 $\theta = 135 ^\circ$