포물선 사이 정사각형

[출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학내적문제 해결하기

사각형 $\mathrm{ABCD}$의 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $( \alpha , \alpha ^{2} )$, 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $( \beta , \beta ^{2} )$라 놓으면 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $( \alpha , \alpha )$, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $( \beta ^{2} , \beta ^{2} )$이 된다. 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $\mathrm{CD}$의 기울기가 같으므로 $\displaystyle \frac{\beta ^{2} - \alpha ^{2}}{\beta - \alpha} = 1$ ⇒ $\alpha + \beta = 1$ $\cdots$㉠ 이다. 이때, 사각형의 두 대각선 $\mathrm{BD}$와 $\mathrm{AC}$의 교점을 점 $\mathrm{M}$이라 하면 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 정사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 2 \overline{\mathrm{BM}}$이다. 즉, $\beta - \beta ^{2} = 2 ( \beta - \alpha )$ $\beta ^{2} + \beta - 2 \alpha = 0$ ㉠에 의하여 $\alpha = 1 - \beta$ $\beta ^{2} + 3 \beta - 2 = 0$, $\displaystyle \beta = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$ $( \because \beta > 0 )$ 따라서 대각선의 길이는 $\beta - \beta ^{2} = \beta ( 1 - \beta )$ $\displaystyle = \left( \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2} \right) \times \left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \right) = 2 \sqrt{17} - 8$ 그러므로 $a = 17 , b = - 8$ $\therefore a + b = 9$