기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 내접 사각형

문제

그림과 같이 포물선 y2=8xy ^{2} = 8 x 위의 네 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여 두 선분 AB{\mathrm{AB}}와 CD{\mathrm{CD}}가 각각 yy축과 평행하다. 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 F\mathrm{F}와 일치하고 DF‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = 6일 때, 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이는? [4점]

①142\displaystyle 14 \sqrt{2}②152\displaystyle 15 \sqrt{2}③162\displaystyle 16 \sqrt{2}④172\displaystyle 17 \sqrt{2}⑤182\displaystyle 18 \sqrt{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 포물선의 성질을 활용하여 문제해결하기

포물선 y2=8xy ^{2} = 8 x의 초점 F\mathrm{F}의 좌표는 (2,0)\left( 2 , 0 \right) 점 D\mathrm{D}에서 포물선의 준선 x=−2x = - 2에 내린 수선의 발을 D′\mathrm{D}'이라 하면 DD′‾=FD‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{DD'}} = {\overline{FD}} = 6이므로 점 D\mathrm{D}의 xx좌표는 4이고 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (4,42)\displaystyle \left( 4 , 4 \sqrt{2} \right) 점 B\mathrm{B}의 좌표를 (a,b)( \mathit{a} , b )라 하면 직선 BF\mathrm{BF}의 기울기와 직선 FD\mathrm{FD}의 기울기가 같으므로 −b2−a=422\displaystyle \frac{- b}{2 - a} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} b=22a−42\displaystyle b = 2 \sqrt{2} a - 4 \sqrt{2} b2=8ab ^{2} = 8 a, a2−5a+4=0a ^{2} - 5 a + 4 = 0 a<2a < 2 이므로 a=1a = 1 따라서 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이는 12×(82+42)×3=182\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \right) \times 3 = 18 \sqrt{2}

태그

#포물선#초점

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