기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 직선 중점

문제

그림과 같이 점 A(−4,0)A ( - 4 , 0 )을 지나는 직선이 포물선 y2=16xy ^{2} = 16 x 와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점을 각각 B,CB , C라 하자. AB‾=BC‾\displaystyle {\overline{AB}} = {\overline{BC}} 일 때, 점 BB의 좌표는 (a,b)( a , b )이다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, b>0b > 0) [4점]

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해설

[출제의도] 이해능력-평면곡선 포물선 y2=16xy ^{2} = 16 x의 초점을 F(4,0)F ( 4 , 0 )이라 하고, 두 교점 B,CB , C에서 준선 x=−4x = - 4에 내린 수선의 발을 각각 B′,C′B' , C'이라 하자.

삼각형 ACC′ACC'에서 점 BB는 선분 ACAC의 중점이므로 CC′‾=2×BB′‾\displaystyle {\overline{CC'}} = 2 \times {\overline{BB'}}이다. 즉, CF‾=2×BF‾\displaystyle {\overline{CF}} = 2 \times {\overline{BF}} ⋯㉠\cdots \text{㉠} 삼각형 AFCAFC에서 원점 OO는 선분 AFAF의 중점이므로 CF‾=2×BO‾\displaystyle {\overline{CF}} = 2 \times {\overline{BO}} ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠, ㉡에서 BF‾=BO‾\displaystyle {\overline{BF}} = {\overline{BO}}이므로 점 BB의 좌표는 2이다. 따라서 a=2,b=32=42\displaystyle a = 2 , b = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}이므로 a2+b2=4+32=36a ^{2} + b ^{2} = 4 + 32 = 36

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#포물선#초점

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