포물선 직선 격자점

[출제의도] 이차함수의 성질 이해하기

$\displaystyle 2 + \sqrt{5}$ $\displaystyle 2 - \sqrt{5}$

이차함수 $y = x ^{2} - 3 x + 1$의 그래프와 직선 $y = x + 2$의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $x ^{2} - 3 x + 1 = x + 2$, $x ^{2} - 4 x - 1 = 0$에서 $\displaystyle x = 2 \pm \sqrt{5}$이다. 이차함수 $y = x ^{2} - 3 x + 1$의 그래프와 직선 $y = x + 2$로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점의 $x$좌표를 $p$, $y$좌표를 $q$라 하면 $\displaystyle 2 - \sqrt{5} < p < 2 + \sqrt{5}$이다. $\displaystyle - 1 < 2 - \sqrt{5} < 0$이고 $\displaystyle 4 < 2 + \sqrt{5} < 5$이므로 $\displaystyle 2 - \sqrt{5} < p < 2 + \sqrt{5}$를 만족시키는 정수 $p$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$이다. $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점 $\left( p , q \right)$는 다음과 같다. $p = 0$일 때, $1 < q < 2$이므로 존재하지 않는다. $p = 1$일 때, $- 1 < q < 3$이므로 $\left( 1 , 0 \right)$, $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 2 \right)$이다. $p = 2$일 때, $- 1 < q < 4$이므로 $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 2 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$이다. $p = 3$일 때, $1 < q < 5$이므로 $( 3 , 2 )$, $( 3 , 3 )$, $( 3 , 4 )$이다. $p = 4$일 때, $5 < q < 6$이므로 존재하지 않는다. 따라서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 $10$이다.