미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 접원 길이비 극한

문제

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 곡선 y=x2y = x ^{2} 위의 점 Pn(n,n2)\mathrm{P} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , n ^{2} \right)에서의 접선을 lnl _{n}이라 하고, 직선 lnl _{n}이 yy축과 만나는 점을 Yn\mathrm{Y} _{\mathit{n}}이라 하자. xx축에 접하고 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}에서 직선 lnl _{n}에 접하는 원을 CnC _{n}, yy축에 접하고 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}에서 직선 lnl _{n}에 접하는 원을 Cn′C _{n}'이라 할 때, 원 CnC _{n}과 xx축과의 교점을 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}, 원 Cn′C _{n}'과 yy축과의 교점을 Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}}이라 하자. lim⁡n→∞OQn‾YnRn‾=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\overline{\mathrm{O} Q _{\mathit{n}}}}{\overline{\mathrm{Y} _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}}} = \alpha라 할 때, 100α100 \alpha의 값을 구하시오. ((단, O\mathrm{O}는 원점이고, 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 xx좌표와 점 Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}}의 yy좌표는 양수이다.)) [4점]

Cn′C _{n}'

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50

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 활용하여 문제해결하기 접선 lnl _{n}의 방정식은 y=2nx−n2y = 2 nx - n ^{2}이므로 Yn\mathrm{Y} _{\mathit{n}}(0,−n2)\left( 0 , - n ^{2} \right) 직선 lnl _{n}이 xx축과 만나는 점을 Xn\mathrm{X} _{\mathit{n}}이라 하면 Xn\mathrm{X} _{\mathit{n}}(12n,0)\displaystyle \left( \frac{1}{2} n , 0 \right) OXn‾=12n\displaystyle \overline{\mathrm{O} X _{\mathit{n}}} = \frac{1}{2} n XnQn‾=XnPn‾=n4+14n2\displaystyle \mathrm{\overline{X _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}} \mathit{=} \mathrm{\overline{X _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}}} \mathit{=} \sqrt{n ^{4} + \frac{1}{4} n ^{2}} YnRn‾=YnPn‾=4n4+n2\displaystyle \mathrm{\overline{Y _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}}} \mathit{=} \mathrm{\overline{Y _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}}} \mathit{=} \sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}}이므로 α=lim⁡n→∞OQn‾YnRn‾\displaystyle \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\overline{\mathrm{O} Q _{\mathit{n}}}}{\overline{\mathrm{Y} _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}}}}=lim⁡n→∞OXn‾+XnQn‾YnRn‾\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{O} X _{\mathit{n}}}} + {\overline{\mathrm{X} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}}}{\overline{\mathrm{Y} _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}}}} =lim⁡n→∞12n+n4+14n24n4+n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{2} n + \sqrt{n ^{4} + \frac{1}{4} n ^{2}}}{\sqrt{4 n ^{4} + n ^{2}}}} =lim⁡n→∞12n+1+14n24+1n2=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{2 n} + \sqrt{1 + \frac{1}{4 n ^{2}}}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n ^{2}}}} = \frac{1}{2}} 따라서 100α=50100 \alpha = 50

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#수열의 극한#접선#원

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