포물선 접선과 수선 넓이

직선 $l _{1}$의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $l _{1}$의 방정식은 $y - 1 = m ( x - 1 )$ 직선 $l _{1}$이 이차함수 $y = x ^{2}$의 그래프와 접하므로 이차방정식 $x ^{2} - mx + m - 1 = 0$의 판별식을 $D$라 할 때 $D = ( - m ) ^{2} - 4 ( m - 1 )$$= ( m - 2 ) ^{2} = 0$ 즉, $m = 2$ 직선 $l _{1}$의 방정식은 $y = 2 x - 1$이므로 $\mathrm{Q} ( \mathit{0} , - 1 )$ 두 직선 $l _{1}$, $l _{2}$가 서로 수직이므로 직선 $l _{2}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{2}$ 직선 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$이고 $y = x ^{2}$과 연립하여 정리하면 $2 x ^{2} + x - 3 = 0$ $( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{R} \left( - \frac{3}{2} , \frac{9}{4} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\triangle} PRQ = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PQ}}} \times {\overline{\mathrm{PR}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \frac{5 \sqrt{5}}{4} = \frac{25}{8}$ 따라서 $40 S = 125$