기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 접선과 k

문제

[11 ~ 12] 그림과 같이 실수 $k$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right) = e ^{x + k}$ 의 그래프와 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 가 있다. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점 $\left( 4 , 4 \right)$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프가 지날 때, $k$ 의 값은? [3점] ① $\ln 2$ ② $\displaystyle \ln \frac{7}{3}$ ③ $\displaystyle \ln \frac{8}{3}$ ④ $\ln 3$ ⑤ $\displaystyle \ln \frac{10}{3}$

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①

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해설

[출제의도] 평면곡선의 접선 이해하기 $y ^{2} = 4 x$ 에서 $\displaystyle 2 y \frac{dy}{dx} = 4$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점 $\left( 4 , 4 \right)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 2$ 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 2$ 가 $y$ 축과 만나는 점 $\left( 0 , 2 \right)$ 를 $y = e ^{x + k}$ 에 대입하면 $e ^{k} = 2$ 따라서 $k = \ln 2$

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