기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 접선 빈칸

문제

그림과 같이 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} t ^{2} , 2 t )$ 에서 이 포물선의 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 다음은 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선과 직선 $\mathrm{OB}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{P}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 구하는 과정이다. (단, $t \ne 0$ 이고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

포물선의 방정식 $y ^{2} = 4 x$ 의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하여 정리하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \square {\text{(가)}}$ (단, $y \ne 0$ ) 이므로 점 $\mathrm{A} ( \mathit{t} ^{2} , 2 t )$ 에서의 접선의 방정식을 구하면 $y = \square {\text{(나)}} \times x + t$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. $\mathrm{B} \mathit{\left( \square {\text{(다)}} , 2 t \right)}$ 이므로 직선 $\mathrm{OB}$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2 t}{\square {\text{(다)}}} x$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 구하면 $\displaystyle \left( \square {\text{(다)}} \times \frac{t ^{2}}{2 t ^{2} + 1} , \frac{2 t ^{3}}{2 t ^{2} + 1} \right)$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( y ) , g ( t )$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $a$ 라 할 때, $f ( a ) \times g ( a )$ 의 값은? [4점] ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$

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①

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해설

포물선의 방정식 $y ^{2} = 4 x$ 의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 y \frac{dy}{dx} = 4$ 이고 정리하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \square {\frac{2}{y}}$ (단, $y \ne 0$ ) 이므로, 점 $\mathrm{A} ( \mathit{t} ^{2} , 2 t )$ 에서의 접선의 방정식을 구하면 $\displaystyle y = \frac{1}{t} ( x - t ^{2} ) + 2 t$ 이고 정리하면 $\displaystyle y = \square {\frac{1}{t}} \times x + t$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. $\mathrm{B} ( \mathit{\square} {- 1} , 2 t )$ 이므로 직선 $\mathrm{OB}$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2 t}{\square {- 1}} x$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ 이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 구하면 $\displaystyle \left( \square {- 1} \times \frac{t ^{2}}{2 t ^{2} + 1} , \frac{2 t ^{3}}{2 t ^{2} + 1} \right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle f ( y ) = \frac{2}{y} , g ( t ) = \frac{1}{t} , a = - 1$ 이므로 $f ( a ) \times g ( a ) = f ( - 1 ) \times g ( - 1 ) = ( - 2 ) \times ( - 1 ) = 2$ 이다.

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