포물선 정의와 최솟값

[출제의도] 포물선의 초점과 준선의 성질을 이해한다.

포물선 $y ^{2} = 4 x$의 초점은 ${\mathrm{F}} ( 1 , 0 )$이다. 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $x = \mathit{-} 4$와 포물선의 준선 $x = \mathit{-} 1$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{R}}$, $\mathrm{S}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{PS}} + \overline{\mathrm{SR}} = \overline{\mathrm{PS}} + 3$ 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PS}} = \overline{\mathrm{PF}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle \geq \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PR}}$ $\displaystyle = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PS}} + 3$ $\displaystyle = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PF}} + 3$ $\displaystyle \geq \overline{\mathrm{AF}} + 3$ $\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} + 12 ^{2}} + 3$ $= 16$ 따라서 점 $\mathrm{P}$는 선분 ${\mathrm{AF}}$와 포물선 $y ^{2} = 4 x$가 만나는 점이고, 이 교점에서 직선 $x = \mathit{-} 4$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{Q}$일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}}$는 최솟값 $16$을 가진다.