미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 회전체 부피

문제

곡선 y=a(1−x2)y = a ( 1 - x ^{2} )과 xx축으로 둘러싸인 도형을 yy축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 16π16 \pi일 때, 양수 aa의 값을 구하시오. [3점]

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해설

곡선 y=a(1−x2)y = a ( 1 - x ^{2} )이 yy축과 만나는 점의 좌표는 (0,a)( 0 , a )이므로 구하는 회전체의 부피 V는 V=π∫0ax2dy\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{a} x ^{2} d y=π∫0a(1−ya)dy\displaystyle = \pi \int _{0} ^{a} \left( 1 - \frac{y}{a} \right) d y=π[y−y22a]0a\displaystyle = \pi \left[ y - \frac{y ^{2}}{2 a} \right] _{0} ^{a} =π(a−a2)=a2π\displaystyle = \pi \left( a - \frac{a}{2} \right) = \frac{a}{2} \pi=16π= 16 \pi ∴a=32\therefore a = 32

태그

#회전체의 부피#정적분

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