포물선 공의 최고 높이

[출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. $\mathrm{A}$지점을 원점 $\mathrm{O}$, 지면을 $x$축, 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 지면과 수직인 직선을 $y$축으로 하는 좌표평면을 생각하자. 지점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같다. $\mathrm{B} ( 6 , 0 )$ 지점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{9}{2} , 0 \right)$ 지점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{2} , 6 \right)$ 세 점을 지나는 포물선을 이차함수 $y = a ( x - p ) ^{2} + q$의 그래프라 하면 다음과 같다.

이 그래프의 축의 방정식은 $x = 3$이므로 $p = 3$ 따라서 이차함수는 $y = a ( x - 3 ) ^{2} + q$ 이다. 이차함수 $y = a ( x - 3 ) ^{2} + q$의 그래프는 원점을 지나므로 $0 = a ( 0 - 3 ) ^{2} + q$ 위 식을 정리하면 $0 = 9 a + q$ $\cdots$ ㉠ 이차함수 $y = a ( x - 3 ) ^{2} + q$의 그래프는 점 $\mathrm{B}$를 지나고 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( 6 , 0 )$이므로 $0 = a \left( 6 - 3 \right) ^{2} + q$ 위 식을 정리하면 $0 = 9 a + q$ 이차함수 $y = a ( x - 3 ) ^{2} + q$의 그래프는 점 $\mathrm{P}$를 지나고 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{9}{2} , 6 \right)$이므로 $\displaystyle 6 = a \left( \frac{9}{2} - 3 \right) ^{2} + q$ 위 식을 정리하면 $\displaystyle 6 = \frac{9}{4} a + q$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 6 = \frac{9}{4} a - 9 a$ $\displaystyle a = - \frac{8}{9}$ $\displaystyle q = - 9 \times \left( - \frac{8}{9} \right) = 8$ $\displaystyle y = - \frac{8}{9} ( x - 3 ) ^{2} + 8$ 따라서 이차함수 $\displaystyle y = - \frac{8}{9} ( x - 3 ) ^{2} + 8$ 은 $x = 3$일 때 최댓값이 $8$이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 $8 \mathrm{m}$이다. [다른풀이] 지면을 $x$축, 포물선의 축을 $y$축, $\mathrm{A}$지점을 점 $( - 3 , 0 )$으로 하는 좌표평면을 생각하자. 그러면 지점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같다. $\mathrm{B} ( 3 , 0 )$ 지점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{3}{2} , 0 \right)$ 지점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{2} , 6 \right)$ 세 점을 지나는 포물선을 이차함수 $y = ax ^{2} + q$의 그래프라 하면 다음과 같다.

이차함수 $y = ax ^{2} + q$의 그래프는 점 $\mathrm{B}$를 지나고 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( 3 , 0 )$이므로 $0 = a \times 3 ^{2} + q$ 위 식을 정리하면 $0 = 9 a + q$ $\cdots$ ㉠ 이차함수 $y = ax ^{2} + q$의 그래프는 점 $\mathrm{P}$를 지나고 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 6 \right)$이므로 $\displaystyle 6 = a \times \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + q$ 위 식을 정리하면 $\displaystyle 6 = \frac{9}{4} a + q$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 6 = \frac{9}{4} a - 9 a$ $\displaystyle a = - \frac{8}{9}$ $\displaystyle q = - 9 \times \left( - \frac{8}{9} \right) = 8$ $\displaystyle y = - \frac{8}{9} x ^{2} + 8$ 따라서 이차함수 $\displaystyle y = - \frac{8}{9} x ^{2} + 8$은 $x = 0$일 때 최댓값이 $8$이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 $8 \mathrm{m}$이다.