기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선 초점현 비

문제

아래 그림과 같이 포물선 y2=12xy ^{2} = 12 x의 초점 F\mathrm{F}를 지나는 직선 ll과 이 포물선이 만나는 두 점을 A,B\mathrm{A} , B 라 하자. AF‾:BF‾=4:1\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} : \overline{\mathrm{BF}} = 4 : 1일 때 직선 ll의 방정식은 ax+by=12ax + by = 12이다. 이때, 상수 a,ba , b 에 대하여 a−ba - b 의 값은? [3점]

①44②55③66④77⑤88

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④

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해설

교점A,B\mathrm{A} , \mathrm{B}의 xx좌표를 각각 α,β\alpha , \beta라 두면 포물선 y2=12x=4⋅3⋅xy ^{2} = 12 x = 4 \cdot 3 \cdot x에서 초점F(3,0)\mathrm{F} ( 3 , 0 ), 준선의 방정식은 x=−3x = - 3이고 A‾F:B‾F=4:1\displaystyle \overline{\mathrm{A}} F : \overline{\mathrm{B}} F = 4 : 1이므로 포물선의 정의에서 (α+3):(β+3)=4:1↔α−4β=9⋯⋯①\left( \alpha + 3 \right) : \left( \beta + 3 \right) = 4 : 1 \leftrightarrow \alpha - 4 \beta = 9 \cdots \cdots \text{①} 또, 내분점 공식에서 $\frac{4 \beta + \alpha}{4 + 1} = 3 \leftrightarrow \alpha + 4 \beta = 15 \cdots \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 α=12,β=34\displaystyle \alpha = 12 , \beta = \frac{3}{4}이다. ∴A(12,12),B(34,3)\displaystyle \therefore \mathrm{A} ( 12 , 12 ) , \mathrm{B} \left( \frac{3}{4} , 3 \right) 그러므로 직선ll의 방정식은 (직선 AF\mathrm{A} F) y−0=12−012−3(x−3)↔y=43(x−3)\displaystyle y - 0 = \frac{12 - 0}{12 - 3} ( x - 3 ) \leftrightarrow y = \frac{4}{3} ( x - 3 ) ∴4x−3y=12\therefore 4 x - 3 y = 12이므로 a=4,b=−3a = 4 , b = - 3이다. ∴a−b=7\therefore a - b = 7

태그

#포물선#초점#준선

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