포물선 초점현

점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}'$이라 하고 준선 $x = - 2$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \mathit{l}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \mathit{3} l$이고 포물선의 정의에 의해서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} _{1}$$= 3 l$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} _{2}$$= l$ 따라서 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 각각 $3 l - 2$, $l - 2$이다. △$\mathrm{FAA}'$과 △$\mathrm{FBB}'$은 닮음이고 닮음비는 $3 : 1$이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{FA}}'$$= ( 3 l - 2 ) - 2 = 3 l - 4$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{FB}}'$$= 2 - ( l - 2 ) = 4 - l$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FA}}' : \overline{FB}'$$= 3 : 1$에서 $3 l - 4 : 4 - l = 3 : 1$ 따라서 $3 ( 4 - l ) = 3 l - 4$에서 $\displaystyle l = \frac{8}{3}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$= 4 l$$\displaystyle = \frac{32}{3}$