포물선 초점 현의 길이

그림에서 제 1사분면의 정사각형의 한 꼭짓점을 C, 점 A에서 $y$축과 준선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하고, 점 B에서 $x$축과 준선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 G, H라 하자. $\displaystyle \overline{AF} = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{AC} = 2$ 이므로 $\displaystyle \overline{CE} = \overline{AE} - \overline{AC}$$\displaystyle = \overline{AF} - \overline{AC}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2} - 2 = 2 ( \sqrt{2} - 1 )$ 또한, $\displaystyle \overline{BF} = k$라 하면 $\displaystyle \overline{CE} = \overline{BH} + \overline{GF}$ $\displaystyle = \overline{BF} + \overline{GF}$$\displaystyle = k + \frac{\sqrt{2}}{2} k = \frac{k}{2} ( 2 + \sqrt{2} )$ 따라서, $\displaystyle \frac{k}{2} ( 2 + \sqrt{2} ) = 2 ( \sqrt{2} - 1 )$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{4 ( \sqrt{2} - 1 )}{2 + \sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} - 8$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{AB} = \overline{BF} + \overline{AF}$ $\displaystyle = ( 6 \sqrt{2} - 8 ) + 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle = 8 \sqrt{2} - 8$ $\therefore$ $a ^{2} + b ^{2} = ( - 8 ) ^{2} = 8 ^{2} = 128$