포물선 초점 현과 사다리꼴

$\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$와 $y$축과의 교점을 $\mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}}$와 $y$축과의 교점을 $\mathrm{D}$, $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$와 $x$축과의 교점을 $\mathrm{E}$라 두자. 이 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 1 , \overline{CP} = 4 , \overline{FH} = 3$이고, $\mathrm{\triangle} PFH$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 4$이다. $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{PQ}}$의 직선의 방정식$\displaystyle \rightarrow y = \frac{4}{3} \left( x - 1 \right)$이므로 $4 x = 3 y + 4$이다. 이 식을 $y ^{2} = 4 x$에 대입하면 $y ^{2} = 3 y + 4 , y ^{2} - 3 y - 4 = 0$이므로 $y = 4 or - 1$이다. $y = - 1$을 직선의 방정식에 대입해 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 구해보면 $\displaystyle x = \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \frac{5}{4}$ $\therefore$사각형$\mathrm{ABQP}$의 넓이 $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \left( \overline{AP} + \overline{BQ} \right) \cdot \overline{AB} =$$\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \left( \overline{AP} + \overline{BQ} \right) \cdot \left( \overline{AE} + \overline{BE} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{5}{4} \right) \left( 4 + 1 \right) = \frac{125}{8}$