기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 초점 거리

문제

포물선 $y ^{2} = 4 px ( p > 0 )$ 의 초점을 $F$ , 포물선의 준선이 $x$ 축과 만나는 점을 $A$ 라 하자. 포물선 위의 점 $B$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{AB} = 7$ 이고 $\displaystyle \overline{BF} = 5$ 가 되도록 하는 $p$ 의 값이 $a$ 또는 $b$ 일 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $a \neq b$ 이다.) [4점]

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13

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해설

주어진 포물선은 아래와 같다. $F ( p , 0 )$ $\displaystyle B \left( \frac{c ^{2}}{4 p} , c \right)$ $H ( - p , c )$ $A ( - p , 0 )$ $y ^{2} = 4 px$ $x = - p$

포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{BF} = \overline{BH}$ $\displaystyle \frac{c ^{2}}{4 p} + p = 5$ $\cdots \cdots$ $\text{㉠}$ $\triangle ABH$ 에서 $\displaystyle \overline{AH} = \sqrt{7 ^{2} - 5 ^{2}} = 2 \sqrt{6} = c$ 를 $\text{㉠}$ 에 대입하면 $p ^{2} - 5 p + 6 = 0$ $\therefore p = 2$ 또는 $3$ $\therefore a ^{2} + b ^{2} = 13$

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