기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 반사 성질

문제

아래 그림과 같이 초점 F(−4,0)\mathrm{F} ( - 4 , 0 )에서 포물선 y2=16(x+8)y ^{2} = 16 ( x + 8 )위의 점 A\mathrm{A}를 향하여 출발한 빛이 포물선에 반사되어 xx축에 평행하게 진행된다. 이 빛이 포물선 y2=−16(x−28)y ^{2} = - 16 ( x - 28 ) 위의 점 B\mathrm{B}에서 다시 반사되어 xx축과 만나는 점을 C\mathrm{C}라 하자. 이 때, 세 선분 길이의 합 FA‾+AB‾+BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{FA}} + \overline{AB} + \overline{BC}의 값을 구하시오.(단, 포물선 위의 점 A\mathrm{A}는 제 22사분면 위에 있다.) [3점]

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해설

[출제의도] 포물선의 반사성질과 초점과 준선과의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 포물선 y2=16(x+8)y ^{2} = 16 ( x + 8 )의 초점은 F(−4,0)\mathrm{F} ( - 4 , 0 )이고, 준선은 x=−12x = - 12이다. 포물선에 반사된 빛은 초점으로 모이므로 포물선 y2=−16(x−28)y ^{2} = - 16 ( x - 28 )의 초점은 C(24,0)\mathrm{C} ( 24 , 0 ), 준선은 x=32x = 32가 된다. 초점과 준선의 성질을 이용하면 선분 FA\mathrm{FA}는 A\mathrm{A}에서 준선 x=−12x = - 12까지의 거리가 되며 선분 BC\mathrm{BC}는 B\mathrm{B}에서 준선 x=32x = 32까지의 거리가 되므로 FA‾+AB‾+BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{FA}} + \overline{AB} + \overline{BC}는 준선과 준선까지의 거리가 되므로 32−(−12)=4432 - ( - 12 ) = 44이다. ∴44\therefore 44

태그

#포물선#초점#준선

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