공통수학2명제수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

피타고라스 나무

문제

‘피타고라스 나무’란 다음과 같은 규칙으로 그린 [그림 11]과 같은 도형이다.

[단계 11] :정사각형을 그린 후 정사각형의 한 변을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그린다.
[단계 22] : 직각삼각형의 나머지 두 변을 한 변으로 하는 정사각형을 각각 그린다.
[단계 33] : [단계 22]에서 그려진 두 정사각형의 한 변을 각각 빗변으로 하는 직각삼각형을 [단계 11]에서 그린 직각삼각형과 닮음이 되도록 그린다.
[단계 44] :[단계 22]와 [단계 33]을 계속 반복하여 그린다.

[그림 11] ‘피타고라스 나무’의 일부분인 [그림 22]에서 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 세 변의 길이가 각각 aa, bb, cc이고, 정사각형 77개의 넓이의 합이 7575일 때, 2abc2 abc의 최댓값은? [4점]

[그림 22] ①125125②130130③135135④140140⑤145145

정답 보기
①

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해설

[출제의도] 부등식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

(가) (다) (나)

피타고라스의 정리에 의해 그림에서 정사각형 (가)의 넓이는 정사각형 (나)의 넓이와 정사각형 (다)의 넓이의 합과 같다. ∴\thereforea2=b2+c2a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} 이와 같은 관계를 나머지 사각형에 적용하면 모든 정사각형의 넓이의 합은 3a23 a ^{2} 따라서 3a2=753 a ^{2} = 75이므로 a=5a = 5 그런데 a2=b2+c2≥2b2c2=2bc\displaystyle a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} \geq 2 \sqrt{b ^{2} c ^{2}} = 2 bc이므로 25≥2bc25 \geq 2 bc ∴\therefore2abc2 abc의 최댓값은 125125

태그

#산술기하평균#피타고라스 정리

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