필요조건과 영역

[출제의도] 부등식의 영역을 구하여 필요조건 문제를 해결한다. 진리집합 $P = \left\{ ( x , y ) | \left| x \right| - 1 \leq y \leq 1 \right\}$에서 $\left| x \right| - 1 \leq y$는 함수 $y = \left| x \right| - 1$의 그래프와 그 윗부분이므로 진리집합 $P$는 함수 $y = \left| x \right| - 1$의 그래프와 직선 $y = 1$로 둘러싸인 영역이다. 진리집합 $P$를 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 색칠된 삼각형과 그 내부가 된다.

진리집합 $Q = \left\{ ( x , y ) | x ^{2} + ( y - a ) ^{2} \leq b ^{2} \right\}$에서 $x ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$은 중심이 $( 0 , a )$이고 반지름의 길이가 $b$인 원이므로 진리집합 $Q$는 중심이 $( 0 , a )$이고 반지름의 길이가 $b$인 원과 그 내부이다. $p$가 $q$이기 위한 필요조건이므로 $Q \subset P$이다. 즉, 원 $x ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$이 함수 $y = \left| x \right| - 1$의 그래프와 직선 $y = 1$로 둘러싸인 영역에 포함되어야 한다. 따라서 $- 1 < a < 1$ 반지름의 길이 $b$가 최대가 될 때는 원 $x ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$이 그림과 같이 세 직선 $y = x - 1$, $y = \mathit{-} x - 1$, $y = 1$에 동시에 접할 때이다.

원의 중심 $( 0 , a )$와 직선 $y = x - 1$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| a + 1 \right|}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{a + 1}{\sqrt{2}}$ 원의 중심 $( 0 , a )$와 직선 $y = 1$ 사이의 거리는 $1 - a$ $\displaystyle \frac{a + 1}{\sqrt{2}}$과 $1 - a$는 둘 다 원의 반지름의 길이이므로 $\displaystyle \frac{a + 1}{\sqrt{2}}$$= 1 - a$ $\displaystyle ( a + 1 ) = \sqrt{2} ( 1 - a ) =$$\displaystyle \sqrt{2} - \sqrt{2} a$ $\displaystyle ( \sqrt{2} + 1 ) a = \sqrt{2} - 1$ $a$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$$\displaystyle = ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}$$\displaystyle = 3 - 2 \sqrt{2}$ 따라서 $b$$= 1 - a$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} - 2$ [다른 풀이] 진리집합 $P$가 나타내는 영역은 세 점 $( 2 , 1 )$, $( - 2 , 1 )$, $( 0 , - 1 )$을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 그 내부이다. 반지름의 길이 $b$가 최대가 될 때는 원 $x ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$이 삼각형에 내접할 때이므로 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{2} \right. 2 \sqrt{2} + 4 ) \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 2$ $\displaystyle \frac{( 4 \sqrt{2} + 4 ) b}{2} = 4$ $\displaystyle ( \sqrt{2} + 1 ) b = 2$ $b$$\displaystyle = \frac{2}{\sqrt{2} + 1}$$\displaystyle = 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right)$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} - 2$