피보나치·뤼카 수열 합

$L _{n} - L _{n-1} = L _{n-2}$에 $n = 3 , 4 , 5 , \cdots$을 차례로 대입하면 $L _{3} - L _{2} = L _{1}$, $L _{4} - L _{3} = L _{2}$, $L _{5} - L _{4} = L _{3}$, $\vdots$ $L _{12} - L _{11} = L _{10}$ 각 변끼리 더하여 정리하면 $L _{1} + L _{2} + \cdots + L _{10} = L _{12} - L _{2} \cdots \cdots \text{㉠}$ 한편, $L _{n} = L _{n-1} + L _{n-2}$, $F _{n} = F _{n-1} + F _{n-2}$의 각 변끼리 빼면 $L _{n} - F _{n} = ( L _{n - 1} - F _{n - 1} ) + ( L _{n - 2} - F _{n - 2} ) \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉡에 $n = 3 , 4 , 5 , \cdots$을 차례로 대입하면 $L _{3} - F _{3} = ( L _{2} - F _{2} ) + ( L _{1} - F _{1} ) = 1 = F _{1}$ $\cdots \text{①}$ $L _{4} - F _{4} = ( L _{3} - F _{3} ) + ( L _{2} - F _{2} )$$= 1$$= F _{2}$ $\cdots \text{ ②}$ $L _{5} - F _{5} =$$F _{1} + F _{2} = F _{3}$ $\cdots \text{ ③}$ $( \because L _{5} = L _{3} + L _{4} , F _{5} = F _{3} + F _{4} \rightarrow \text{ ③} = \text{ ①} + \text{ ②} )$ $L _{6} - F _{6}$$= F _{2} + F _{3} = F _{4}$ $\vdots$ $L _{12} - F _{12} = F _{10}$ $\therefore L _{12} = F _{12} + F _{10} \cdots \cdots \text{㉢}$ ㉠, ㉢에서 $L _{1} + L _{2} + \cdots + L _{10} = L _{12} - L _{2}$ $= F _{12} + F _{10} - 1$ (∵ $L _{2} = 1$)