미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

프랙탈 선분 길이 극한

문제

길이가 11인 선분 AB\mathrm{A} B가 있다. 그림과 같이 선분 AB\mathrm{A} B를 33등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 T1T _{1}이라 하자. T1T _{1}의 선분 중 원래의 선분 AB\mathrm{A} B에서 남아 있는 두 선분을 각각 33등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 T2T _{2}라 하자. T2T _{2}의 선분 중 원래의 선분 AB\mathrm{A} B에서 남아 있는 네 선분을 각각 33등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 T3T _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 nn번째 만든 도형을 TnT _{n}이라 하고, TnT _{n}에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 ana _{n}이라 하자. 이때 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}의 값은? [4점]

①33②103\displaystyle \frac{10}{3}③113\displaystyle \frac{11}{3}④44⑤133\displaystyle \frac{13}{3}

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①

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. a1=1+13×2=1+23\displaystyle a _{1} = 1 + \frac{1}{3} \times 2 = 1 + \frac{2}{3}, a2=a1+(13)2×22=1+23+(23)2\displaystyle a _{2} = a _{1} + \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \times 2 ^{2} = 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}, a3=a2+(13)3×23=1+23+(23)2+(23)3\displaystyle a _{3} = a _{2} + \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} \times 2 ^{3} = 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}, ⋯ ∴ lim⁡n→∞an=1+23+(23)2+⋯\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} + \cdots=11−23=3\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

태그

#등비급수#도형

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