판별식 교점 개수

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 문제 해결하기 두 이차방정식 $f ( x ) = 0$, $g ( x ) = 0$의 판별식을 각각 $D _{1}$, $D _{2}$라 하면 $D _{1}$$= 4 ^{2} - 4 \left( - 3 k ^{2} - 12 k + 40 \right)$$= 12 \left( k - 2 \right) \left( k + 6 \right)$ $\cdots \text{㉠}$ $D _{2}$$= \left( - 12 \right) ^{2} - 4 \left( 3 k ^{2} - 36 k + 96 \right)$$= - 12 \left( k - 10 \right) \left( k - 2 \right)$ $\cdots \text{㉡}$ (ⅰ) 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프와 $x$축이 만나는 점의 개수가 $0$으로 같은 경우 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\displaystyle {\begin{cases} 12 \left( k - 2 \right) \left( k + 6 \right) < 0 \\ - 12 \left( k - 10 \right) \left( k - 2 \right) < 0 \end{cases}}$의 해가 $- 6 < k < 2$이므로 정수 $k$는 $- 5$, $- 4$, $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $1$이고 그 개수는 $7$ (ⅱ) 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프와 $x$축이 만나는 점의 개수가 $1$로 같은 경우 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\displaystyle {\begin{cases} 12 \left( k - 2 \right) \left( k + 6 \right) = 0 \\ - 12 \left( k - 10 \right) \left( k - 2 \right) = 0 \end{cases}}$의 해가 $k = 2$이므로 정수 $k$의 개수는 $1$ (ⅲ) 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프와 $x$축이 만나는 점의 개수가 $2$로 같은 경우 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\displaystyle {\begin{cases} 12 \left( k - 2 \right) \left( k + 6 \right) > 0 \\ - 12 \left( k - 10 \right) \left( k - 2 \right) > 0 \end{cases}}$의 해가 $2 < k < 10$이므로 정수 $k$는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$이고 그 개수는 $7$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 정수 $k$의 개수는 $15$