공통수학1복소수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

방정식 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 한 근을 ω\omega라 하자. 집합 W=W ={a+bω∣a,b는실수}\left\{ a + b \omega | a , b \text{는} \text{실수} \right\}의 원소 α=p+qω\alpha = p + q \omega (p,qp , q는 실수)에 대하여 N(α)=p2+q2−pqN ( \alpha ) = p ^{2} + q ^{2} - pq로 정의한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, α‾\displaystyle \overline{\alpha}는 α\alpha의 켤레복소수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. N(2+ω)=3N ( 2 + \omega ) = 3 ㄴ. WW의 모든 원소 α\alpha에 대하여 N(α)=αα‾\displaystyle N ( \alpha ) = \alpha \overline{\alpha}이다. ㄷ. WW의 모든 원소 α,β\alpha , \beta에 대하여 N(αβ)=N(α)N(β)N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 복소수 문제 추론하기 (ㄱ) N(2+ω)=4+1−2=3N ( 2 + \omega ) = 4 + 1 - 2 = 3 (참) (ㄴ) ω+ω‾=−1\displaystyle \omega + \overline{\omega} = - 1, ωω‾=1\displaystyle \omega \overline{\omega} = 1이므로 N(α)=p2+q2−pqN ( \alpha ) = p ^{2} + q ^{2} - pq=(p+qω)(p+qω)‾=αα‾\displaystyle = ( p + q \omega ) \overline{( p + q \omega )} = \alpha \overline{\alpha} (참) (ㄷ) (ㄴ)에 의해서 N(αβ)=αβα‾β‾=αα‾ββ‾=N(α)N(β)\displaystyle N ( \alpha \beta ) = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = \alpha \overline{\alpha} \beta \overline{\beta} = N ( \alpha ) N ( \beta ) (참)

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#허근 오메가#켤레복소수

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