공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

오메가 거듭제곱 실수부분

문제

방정식 x3−1=0x ^{3} - 1 = 0의 한 허근을 ω\omega라 하자. 모든 자연수 nn에 대하여 ωn\omega ^{n}의 실수부분을 ana _{n}이라 정의할 때, ∑k=110(akak+1ak+2)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( a _{k} a _{k + 1} a _{k + 2} )의 값은? [4점] ①00②94\displaystyle \frac{9}{4}③52\displaystyle \frac{5}{2}④114\displaystyle \frac{11}{4}⑤33

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③

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해설

주어진 식을 인수분해 하면 (x−1)(x2+x+1)=0( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) = 0이다. 이 때, x=1x = 1은 실근이므로 ω\omega는 x2+x+1=0x ^{2} + x + 1 = 0의 근임을 알 수 있다. 근의 공식을 사용해 근을 구해주면 ω=−1±3i2\displaystyle \omega = \frac{- 1 \pm \sqrt{3 i}}{2}를 구할 수 있다. 이 때, 실수부분은 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이므로 a1=−12\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{2}이다. 또한, ω2+ω+1=0→ω2=−1−ω=−12∓3i2\displaystyle \omega ^{2} + \omega + 1 = 0 \rightarrow \omega ^{2} = - 1 - \omega = - \frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3 i}}{2}이므로 a2=−12\displaystyle a _{2} = - \frac{1}{2} ω3=1\omega ^{3} = 1이므로 a3=1a _{3} = 1이다. 이 때, ω4=ω3⋅ω=ω\omega ^{4} = \omega ^{3} \cdot \omega = \omega이므로 주어진 수열은 −12,−12,1\displaystyle - \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} , 1이 반복되는 수열이다. ∴akak+1ak+2=14\displaystyle \therefore a _{k} a _{k+1} a _{k+2} = \frac{1}{4} ∴∑k=110akak+1ak+2=∑k=11014=52\displaystyle \therefore \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} a _{k+1} a _{k+2} = \sum\limits _{k=1} ^{10} \frac{1}{4} = \frac{5}{2}

태그

#허근#오메가#주기

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