대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

올림픽 메달 가치

문제

올림픽에 참가한 어느 나라가 딴 금메달, 은메달, 동메달의 수를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라 할 때 $3 a + 2 b + c$ 의 값을 그 나라의 메달 가치라 하자. 어떤 연구에 의하면 인구가 $P$ 만 명이고 국내총생산액이 $G$ 억 달러인 나라의 메달 가치 $S$ 는 부등식 $\displaystyle S \leq 0.215 \left( \frac{P}{100} \right) ^{\frac{1}{3}} \left( \frac{G}{10} \right) ^{\frac{2}{3}}$ …… (*) 을 만족시킨다고 한다. 어느 해 올림픽에 참가한 $\mathrm{A}$ 나라의 인구가 $6400$ 만 명이고, 국내총생산액이 $5120$ 억 달러라 하자. 부등식 (*)이 항상 성립한다고 할 때, $\mathrm{A}$ 나라의 메달 가치의 최댓값은? [3점] ① $51$ ② $53$ ③ $55$ ④ $57$ ⑤ $59$

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③

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해설

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $P = 6400$ , $G = 5120$ 이므로 $\displaystyle S \leq 0.215 \left( \frac{6400}{100} \right) ^{\frac{1}{3}} \left( \frac{5120}{10} \right) ^{\frac{2}{3}}$ $\displaystyle = 0.215 \left( 2 ^{6} \right) ^{\frac{1}{3}} \left( 2 ^{9} \right) ^{\frac{2}{3}}$ $= 0.215 \times 2 ^{2} \times 2 ^{6}$ $= 55.04$ 따라서 메달 가치의 최댓값은 $55$ 이다.

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