대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

오존층 흡수 로그

문제

다음은 오존층의 두께를 조사하는 방법 중 하나를 서술한 것이다. 태양광선이 대기권에 도달하기 전의 특정한 파장의 세기를 $I _{0}$ , 그 파장이 두께가 $x$ ㎝ 인 오존층을 통과한 후의 파장의 세기를 $I$ 라 하면 $\log _{a} {I _{0}} - \log _{a} {I} = k x$ 이 성립한다. 여기서, $a$ 는 $2 < a < 3$ 인 상수이고, $k$ 는 그 파장에 대한 오존의 흡수상수이다.

위와 같은 공식을 이용하면, 진폭이 $3 \times 10 ^{- 8}$ ㎝ 인 특정파장이 두께가 $0.2$ ㎝인 오존층을 통과하였을 때, $\displaystyle I = \frac{5}{6} I _{0}$ 를 만족한다고 한다. 이 때, $1000 \log _{10} a ^{k}$ 의 값을 구하시오. (단, $\log _{10} 2 = 0.301$ , $\log _{10} 3 = 0.477$ 로 계산한다.) [4점]

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395

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해설

$\displaystyle \log _{a} \frac{I _{0}}{I} = kx$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{I _{0}}{I} = a ^{k x}$ $x = 0.2$ 일 때, $\displaystyle I = \frac{5}{6} I _{0}$ 이므로 $\displaystyle \frac{I _{0}}{\frac{5}{6} I _{0}} = a ^{\frac{k}{5}}$ $\therefore$ $\displaystyle a ^{k} = ( \frac{6}{5} ) ^{5}$ $\therefore$ $\displaystyle 1000 \log _{10} a ^{k} = 1000 \log _{10} ( \frac{6}{5} ) ^{5} = 5000 \times 0.079 = 395$

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