오일러 직선 증명

삼각형의 세 꼭짓점에서 각 대변 또는 대변의 연장선에 내린 세 수선의 교점을 삼각형의 수심이라 한다. 다음은 정삼각형이 아닌 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 무게중심, 수심, 외심을 각각 $\mathrm{G} , P , Q$라 할 때, 점 $\mathrm{G}$ 가 선분 $\mathrm{PQ}$ 를 일정한 비로 내분함을 증명하는 과정이다.

[증명]

좌표평면 위에서 삼각형의 세 꼭짓점을 $\mathrm{A} \mathit{(} a , b ) ,$ $\mathrm{B} \mathit{(} - c , 0 ) ,$ $\mathrm{C} \mathit{(} c , 0 )$으로 놓자. 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{AC}$에 수직인 직선의 방정식이 $y =$ ${\square {( \text{가} )}} ( x + c )$ 이므로 수심 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( a , \frac{c ^{2} - a ^{2}}{b} \right)$이다. 또, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 지나고 직선 $\mathrm{AC}$에 수직인 직선과 $y$축과의 교점, 즉 외심 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $( 0 ,$${\square {( \text{나} )}}$ $)$이다. 그런데 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{a}{3} , \frac{b}{3} \right)$이므로 점 $\mathrm{G}$는 선분 $\mathrm{PQ}$를 ${\square {( \text{다} )}}$로 내분한다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \frac{c - a}{b}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2 b}$ $1 : 2$②$\displaystyle \frac{c - a}{b}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 b}$ $2 : 1$③$\displaystyle \frac{c - a}{b}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 b}$ $1 : 2$④$\displaystyle \frac{a + c}{b}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} - b ^{2} + c ^{2}}{2 b}$ $2 : 1$⑤$\displaystyle \frac{a + c}{b}$ $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2 b}$ $1 : 2$