오각형과 평면벡터

ㄱ. (참) $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형 $\mathrm{A} BFE$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}}$의 교점이 M이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{AM}} = \frac{1}{2} \vec{AF}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{(} \vec{AB} + \vec{AE} )$ ㄴ. (참) 그림에서 $\mathrm{\vec{AD}}'$󰁚$\mathrm{\vec{ED}}$, $\mathrm{\vec{AC}}'$󰁚$\mathrm{\vec{BC}}$일 때, 두 벡터 $\mathrm{\vec{BC}}$, $\mathrm{\vec{ED}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 두 벡터 $\mathrm{\vec{AC}}'$, $\mathrm{\vec{AD}}'$이 이루는 각의 크기도 $\theta$이다. 또, 두 벡터 $\mathrm{\vec{AB}}$, $\mathrm{\vec{AE}}$가 이루는 각의 크기는 $( 90 ^\circ - \theta ) + \theta + ( 90 ^\circ - \theta )$$= 180 ^\circ - \theta$, 즉, $\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AE} = | \vec{AB} | \cdot | \vec{AE} | \cos ( 180 ^\circ - \theta )$ $\mathrm{=} | \vec{AB} | \cdot | \vec{AE} | ( - \cos \theta )$ $\mathrm{=} | \vec{BC} | \cdot | \vec{ED} | ( - \cos \theta )$ (∵ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BC}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{ED}$`) $\mathrm{=} - \vec{BC} \cdot \vec{ED}$ ㄷ. (참) $\mathrm{|} \vec{BC} + \vec{ED} | ^{2}$$\mathrm{=} | \vec{BC} | ^{2} + 2 \cdot \vec{BC} \cdot \vec{ED} + | \vec{ED} | ^{2}$ $\mathrm{|} \vec{BE} | ^{2} = | \vec{AE} - \vec{AB} | ^{2}$ $\mathrm{=} | \vec{AE} | ^{2} - 2 \cdot \vec{AE} \cdot \vec{AB} + | \vec{AB} | ^{2}$ 이때, $\mathrm{|} \vec{BC} | ^{2} = | \vec{AB} | ^{2}$, $\mathrm{|} \vec{ED} | ^{2} = | \vec{AE} | ^{2}$이고 ㄴ에서$\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AE} = - \vec{BC} \cdot \vec{ED}$이므로 $\mathrm{|} \vec{BC} + \vec{ED} | ^{2} = \mathrm{|} \vec{BE} | ^{2}$ 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.