대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

오각형 도형의 넓이

문제

그림과 같이 도형 ABCDE\mathrm{A} BCDE에서 ∠ACB=∠ACD=60∘\angle \mathrm{A} CB = \angle \mathrm{A} CD = 60 ^\circ, A‾C=3\displaystyle \overline{\mathrm{A}} C = 3, B‾C=C‾D=4\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C = \overline{\mathrm{C}} D = 4, D‾E=5\displaystyle \overline{\mathrm{D}} E = 5, A‾E=6\displaystyle \overline{\mathrm{A}} E = 6이다. 이 도형 ABCDE\mathrm{A} BCDE의 넓이를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오. (단, 3=1.732\displaystyle \sqrt{3} = 1.732로 계산한다.) [3점]

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19.39

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해설

제이코사인법칙에 의해서 AD‾2=32+42−2⋅3⋅4⋅cos⁡60∘\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} ^{2} = 3 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60 ^\circ=13= 13 ∴ AD‾=13(∵AD‾>0)\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sqrt{13} ( \because \overline{AD} > 0 )

위의 그림과 같이 ∠AED=θ\theta 로 놓으면 제이코사인법칙에 의해서 cos⁡θ=62+52−(13)22⋅6⋅5\displaystyle \cos \theta = \frac{6 ^{2} + 5 ^{2} - ( \sqrt{13} ) ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 5}=45\displaystyle \frac{4}{5} ∴ sin⁡θ=1−(45)2\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}} (∵θ\theta 는 예각)=35\displaystyle = \frac{3}{5} ∴ (도형 ABCDE의 넓이)=S1+S2+S3S _{1} + S _{2} + S _{3} =12⋅3⋅4⋅sin⁡60∘+12⋅3⋅4⋅sin⁡60∘\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 60 ^\circ + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 60 ^\circ+12⋅6⋅5⋅sin⁡θ\displaystyle + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \theta =6⋅32+6⋅32+15⋅35\displaystyle = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 15 \cdot \frac{3}{5} =63+9\displaystyle = 6 \sqrt{3} + 9 =6×1.732+9= 6 \times 1.732 + 9 =19.392 따라서, 19.392를 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하면 19.39이다.

태그

#삼각형 넓이#코사인법칙

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