외접원의 넓이

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 선분 $\mathrm{AB}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 지름이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 직각삼각형이다. $\angle \mathrm{BCA}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$, $\angle \mathrm{CAB}$$= \alpha$라 하면 $\cos \alpha$$\displaystyle = \frac{1}{3}$이고, $\sin ^{2} \alpha$$= 1 - \cos ^{2} \alpha$$\displaystyle = \frac{8}{9}$이므로 $\sin \alpha$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} \times \sin \alpha$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 18$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$= 6$ 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $5 : 4$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}}$$= 10$ 삼각형 $\mathrm{CAD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2}$$= 6 ^{2} + 10 ^{2} - 2 \times 6 \times 10 \times \cos \alpha$$= 96$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}}$$\displaystyle = \sqrt{96}$$\displaystyle = 4 \sqrt{6}$ 삼각형 $\mathrm{CAD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면, 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{DC}}}}{\sin \alpha}$$= 2 R$에서 $R$$\displaystyle = 3 \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{CAD}$의 외접원의 넓이 $S$$= 27 \pi$ 따라서 $\displaystyle \frac{S}{\pi}$$= 27$